Cálculo Diferencial
Una aplicación de la derivada de una función, ¿optimización matemática?
La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real. La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación. Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.
La derivada representa un papel fundamental en las Matemáticas debido a su amplio campo de aplicaciones en la ciencia, la tecnología o la economía:
- Cálculo de la velocidad y la aceleración instantánea de un objeto en movimiento.
- Para la optimización de funciones.
- Construir carreteras de modo que las curvas se puedan tomar de la forma más natural posible.
Sabiendo esto, hablaremos de optimización matemática o la llamada optimización de funciones, que consiste en encontrar sus valores máximos y mínimos, definidos en un dominio. Por lo tanto, la importancia de la optimización radica en hallar una forma más eficiente y, en el mejor de los casos, utilizando la menor cantidad de recursos a disposición.
Con el fin de ilustrar de forma adecuada la estructura y composición de un problema de optimización, introduciremos a continuación un sencillo ejemplo: supongamos que queremos determinar las dimensiones de una caja rectangular de forma que contenga el mayor volumen posible, pero utilizando para ello una cantidad fija de material, ¿qué debemos hacer?
Para resolver un problema de optimización de forma correcta vamos a establecer una serie de pasos que nos harán más sencillo el planteamiento y resolución:
- En primer lugar, establecemos cuál o cuáles son las incógnitas.
- A continuación, tenemos que buscar y plantear que es lo que tenemos que maximizar o minimizar: f (x, y)
- Después buscamos la condición que se nos plantea. En la mayoría de problemas, la función a optimizar depende de dos variables, por tanto, la condición nos permitirá relacionarlas y poner una en función de otra.
- Una vez que hemos despejado una variable en función de la otra, sustituimos en nuestra función a optimizar, quedándose en función una sola variable: f (x)
- Derivamos la función y la igualamos a cero: f ' (x) = 0
- Una vez obtenidas las soluciones, debemos comprobar si se trata de un máximo o un mínimo, para ello, realizamos la segunda derivada de tal forma que:
Si f '' (c) < 0, entonces se trata de un máximo en x = c.
Si f '' (c) > 0 , entonces se trata de un mínimo en x = c .
- Para el último paso, una vez que ya tenemos , debemos volver al paso 3, donde habíamos despejado y , y hallar el valor de y. De esta manera, tenemos la solución.
A modo de conclusión, la teoría de optimización está constituida por un conjunto de resultados y métodos analíticos y numéricos enfocados a encontrar e identificar el mejor candidato de entre una colección de alternativas, sin tener que enumerar y evaluar explícitamente cada una de ellas. Un problema de optimización es, en general, un problema de decisión.
Referencias:
Benites, J. (2022, 30 noviembre). IMPORTANCIA DE LA OPTIMIZACIÓN. Capacitación Tecnológica. https://capacitaciontecnologica.blogspot.com/2008/10/importancia-de-la-optimizacin.html
DIUC. (2020, 2 octubre). Cápsula | La Optimización Matemática - Algoritmos Metaheurísticos. https://www.ucuenca.edu.ec/component/content/article/269-espanol/investigacion/blog-de-ciencia/ano-2020/octubre-2020/1742-metaheuristicos
Optimización Matemática: Una aplicación de la derivada de una función. (2021, 30 noviembre). https://www.tusclases.mx/blog/optimizacion-matematica-aplicacion-derivada-funcion